1. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales de las Matemáticas. Es difícil encontrar alguna de sus ramas que no esté,y que se entiende sin expresar y además se expresa con claridad, basada en dicho concepto. Hay quien afirma que todo el edificio matemático se sostiene sobre la piedra angular de la Teoría de Conjuntos.
La noción de conjunto está en la raíz de la mayoría de los conceptos fundamentales de las Matemáticas. A pesar de esto su definición es delicada y trajo como consecuencia algunas paradojas importantes, lo que obligó a crear una axiomática que proporcionara a la Teoría de Conjuntos un cuerpo teórico lógicamente consistente. Como toda teoría matemática posee su propio lenguaje y una notación específica. Dos conjuntos singulares, el vacío y el conjunto universal, permitieron, gracias a la unión y la intersección, operaciones definidas entre conjuntos, dotarlos de una estructura algebraica, las llamadas Álgebras de Boole, de consecuencias insospechadas en las modernas tecnologías de la computación.
La importancia de los conjuntos
Poincaré dijo en una ocasión que un matemático era una persona que se dedicaba a ponerle el mismo nombre a diferentes cosas. Es una forma sucinta y un tanto irónica de expresar una gran verdad, ya que el objetivo fundamental que persiguen las Matemáticas es el de la generalización. Y si a algo puede aplicarse esta máxima de forma rotunda es precisamente a la Teoría de Conjuntos, ya que la palabra conjunto puede designar cualquier cosa que exista (y muchas que no existen). Pero evidentemente la importancia de la Teoría de Conjuntos no radica en este supuesto valor semántico, sino en algo mucho más profundo que alteró de tal forma a la estructura interna de las Matemáticas que se puede afirmar que, en su historia, ha habido un antes y un después de la Teoría de Conjuntos.
¿Por qué es tan importante la Teoría de Conjuntos? Pues porque es una teoría muy simple y sencilla, a partir de la cual se pueden definir los siguientes conceptos: par ordenado, relación, función, partición, orden, los números naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, la estructura de grupo, anillo, cuerpo, espacio vectorial,… La lista es muy, muy larga. Hay quien llega a afirmar que toda la Matemática pivota sobre la Teoría de Conjuntos. Una enorme importancia que, sin embargo, sólo afecta a matemáticos, lógicos y, en menor medida, a todos aquellos que se dedican a tareas de programación informática. Realmente acabamos de incluir a un buen montón de gente, lo que no justifica el gran error que se cometió en su momento cuando se empezó a enseñar la Teoría de Conjuntos a los niños de cinco años. Un lastre que algunos sistemas educativos todavía arrastran.
La definición
El primer escollo con que se encuentra la Teoría de Conjuntos es la propia definición de conjunto. Una vez salvado este trance las cosas funcionan de maravilla. Es muy difícil definir lo que es un conjunto sin utilizar la misma palabra conjunto o alguno de sus sinónimos: agrupación, reunión, montón, etc. Una de las mejores definiciones, que no utiliza sinónimos (por lo menos de forma aparente) es la que dio B. Russell: “Un conjunto es una consideración simultanea de entes”. Es una definición interesante porque plantea el concepto como una actitud mental, lo que es síntoma de que se trata de un concepto muy primitivo. Podríamos, por ejemplo, estar en una reunión social en la que no conocemos a nadie y al borde del aburrimiento. Si para pasar el rato, empezamos a fijarnos en los zapatos que llevan todos los asistentes a la reunión y hacemos luego una clasificación, aunque sea muy simple, como “me gustan o no me gustan”, habremos empezado a establecer una relación en un conjunto muy bien definido: “el de todos los zapatos que hay en la reunión”. El cambio en la actitud mental consiste precisamente en hacer repentinamente esa consideración simultánea de objetos, “restringir nuestra atención a…”, “fijarnos sólo en…”, que es la que ha definido al conjunto de zapatos.
También podríamos definir conjunto de la siguiente forma:
1. Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.
Simbología
De la misma forma que a los niños, que recién han aprendido a leer, les gustan los cuentos con muchos dibujos y poca letra, a los mayores les gustan los textos divulgativos con mucha letra y pocas fórmulas. Algo que está totalmente justificado, ya que la mayoría de las fórmulas requieren de un largo preámbulo para poder ser inteligibles. Pero la jerga simbólica utilizada en Teoría de Conjuntos es una excepción, ya que se trata de un lenguaje lógico cuya única finalidad es la claridad y la comodidad.
Supongamos que queremos representar el conjunto, al que denominaremos A, formado por “todos los números naturales comprendidos entre 1 y 15 y que además son pares”. Ya lo hemos hecho. Nadie que haya leído la letra cursiva del párrafo precedente tiene ninguna duda de qué elementos forman el conjunto A. Hay una manera más sucinta, y bastante más cómoda, de hacerlo que es:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Otra manera de expresarlo sería:
A = {x, tal que x sea un número par comprendido entre 1 y 15}
En el taquigráfico lenguaje de las Matemáticas para la expresión “tal que” se utiliza el símbolo /, de modo que:
A = {x / x es un número natural comprendido entre 1 y 15}
La primera forma que hemos utilizado es la que se llama por extensión, que es la que se usa cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. Por ejemplo:
V = {a, e, i, o, u}
En cambio la forma por comprensión o forma constructiva es cuando se da una propiedad que la cumplen todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. Por ejemplo:
V = {x / x es una vocal}
Un conjunto está bien definido cuando se puede, sin ambigüedades, decidir claramente si un elemento dado pertenece a no pertenece a dicho conjunto. Para el símbolo de pertenencia se usa . Si llamamos P al conjunto de todos los números pares podemos afirmar que 4 P. Para indicar la no pertenencia se utiliza el mismo signo, pero tachado: . O sea, que podemos escribir que 5 P.
Un conjunto puede formar parte de otro conjunto. Los número pares, por ejemplo, están incluidos dentro de un conjunto mayor que es el de los números enteros (que se suele simbolizar con la letra ). En este caso diremos que uno de los conjuntos es subconjunto del otro y lo simbolizaremos con el signo :
P
Si A = {23, 4, 815, 5, 6, 200, a, z} y B {4, 6, z} se puede poner que B A.
Observemos que estos dos últimos conjuntos que hemos tomado para poner el ejemplo y que han sido definidos por extensión están formados por elementos cualesquiera. Y es que es importante señalar que los elementos que forman parte de un conjunto no tienen porqué guardar una especial relación entre ellos ni cumplir con ninguna ley definida. Por otro lado, al hablar de P y Z hemos introducido dos conjuntos infinitos. También este tipo de conjuntos se pueden expresar por extensión:
P = {2, 4, 6, 8, 10,…}
Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
En donde los puntos suspensivos indican que la serie de números prosigue indefinidamente. Esta representación de conjuntos infinitos será factible siempre que no se preste a confusiones.
El todo y la nada
Hay dos conjuntos especiales, y teóricamente imprescindibles, que son el conjunto vacío y el conjunto universal. El primero se simboliza con el signo (una “o” atravesada por una raya) y se define como el conjunto que carece de elementos. Es un conjunto que puede considerarse filosóficamente conflictivo y que, en su momento, tuvo sus detractores, ya que si carece de elementos es que está formado por nada, la nada no existe y por tanto el conjunto vació no puede tener una identidad real. El conjunto universal, en cambio, plantea el problema de que tiene demasiadas existencias o, si se quiere, de que es demasiado grande. Se simboliza con la letra griega , aunque en muchos textos figura simplemente con la letra U, que es la que utilizaremos aquí. Su definición es un poco más imprecisa que la del conjunto vacío, ya que lo que se pretende es que sea un conjunto que abarque a todos los conjuntos con los que estamos tratando. Sería tentador, ya que a se le ha negado todo dárselo todo a U, pero esto sería tanto como afirmar que U es el conjunto de todos los conjuntos posibles. Esto sería algo muy poco recomendable y, como veremos más adelante, no por una cuestión metafísica (que los matemáticos suelen obviar sin pestañear), sino porque afecta a la lógica interna de la misma definición de conjunto. De manera que al conjunto universal se le imponen unos ciertos límites convencionales. En el ejemplo que utilizamos al inicio, el del invitado aburrido que observaba los zapatos de los concurrentes a la fiesta, podríamos considerar como conjunto universal U el de todos los zapatos que hay en la reunión. Pero se podría dar el caso de que nos conviniera ampliar el conjunto universal a los zapatos fabricados en el ámbito nacional, si estamos haciendo, por ejemplo, referencia a determinadas marcas. Tampoco habría inconveniente en que tomáramos como conjunto universal al formado por todos los zapatos del mundo. Lo importante es que sea lo suficientemente grande como para movernos en su interior a nuestras anchas.
Operaciones
Entre conjuntos hay dos operaciones, similares a la suma y producto de números, que son, respectivamente, la unión y la intersección de conjuntos. La unión de dos conjuntos A y B, que se representa mediante el símbolo es el resultado de considerar simultáneamente todos los elementos de A y de B. Por ejemplo si:
A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3}; entonces A B = {a, b, c, d, 1, 2, 3}
En el caso en que aparezcan elementos repetidos, estos no deben incluirse en el conjunto reunión:
Si C = {a, b, c, d} y D = {a, 3, 2, d}; entonces C D = {a, b, c, d, 3, 2}
La intersección de dos conjuntos cualesquiera A y B, que se simboliza mediante es el conjunto formado por todos aquellos elementos que pertenecen a la vez a A y a B. Siguiendo el ejemplo anterior tendríamos:
C D = {a, d}
En el caso en que no existan elementos comunes entre ambos conjuntos, la intersección será el conjunto vacío:
A B =
Un tercer operador importante, que en este caso actúa sobre un solo conjunto, es el complementario. Hay diferentes maneras de designar el complementario de un conjunto A, que son C(A); A’; Ac. Tomaremos la segunda. El complementario A’ de un conjunto A es, por definición, el conjunto formado por todos aquellos elementos que no son de A, es decir, que pertenecen al conjunto universal sin pertenecer a A. Aquí se pone claramente de manifiesto la necesidad, que mencionábamos antes, de limitar el tamaño del conjunto universal ya que si, por ejemplo consideramos A = {1, 3/4, } el complementario de A es el conjunto formado por cualquier número que no sea ninguno de estos tres. Conjunto en el que, si no especificamos otra cosa, se encuentran también los miembros del parlamento inglés, las cajetillas de tabaco del estanco de la esquina y el planeta Saturno.
Diagramas de Venn
Los diagramas de Venn son todos esos circulitos con flechas que iban de un lado para otro que aparecían el los libros de texto y que constituían uno de los aspectos más tristemente célebres del “folclore” de los conjuntos. Y es que cuando el profesor se plantaba delante de una pizarra virgen y empezaba la clase dibujando una curva cerrada diciendo “sea el conjunto A”, casi se podía palpar una voz silenciosa entre los atónitos alumnos que decía “esto no ha empezado bien”.
John Venn (1834-1923) era un sacerdote de la iglesia anglicana que llegó a ser profesor de teoría de probabilidades y lógica en la Universidad de Cambridge. Desarrolló un sencillo sistema de diagramas para facilitar la comprensión de determinadas operaciones entre conjuntos y, seguramente, nunca sospechó que su nombre llegaría a estar en boca de los alumnos de secundaria de medio mundo. Los diagramas de Venn consisten en lo siguiente: primero se establece un marco que simboliza al conjunto universal U en el que nos vamos a mover:
Dentro de este marco, el interior de un círculo representa a un conjunto dado (pueden ser círculos o cualquier tipo de curva cerrada).
Estos diagramas son cómodos porque permiten representar visualmente, por ejemplo, la unión de dos conjuntos A y B (en azul):
O también el complementario de un conjunto A (en marrón):
Y resultan especialmente útiles cuando se hacen intervenir varios conjuntos.
A simple vista pueden observarse en este diagrama las siguientes relaciones:
Contratiempos lógicos
La historia de la Teoría de Conjuntos está íntimamente relacionada con la del infinito, más concretamente con el concepto de infinito actual, y con la necesidad de crear objetos matemáticos con un número infinito de elementos con los que se pudiera operar. A pesar de que las primeras nociones de conjunto fueron establecidas por B. Bolzano (1781-1848), se atribuye de forma indiscutible a G. Cantor (1845-1918) el haber sido el creador de dicha teoría. Se podría decir que ésta nació en 1874 en una memoria publicada en la Revista de Crelle con el título de Ueber eine Eigenschaft des Ibegriffes aller reellen algebraischen Zahlen (Sobre una propiedad del conjunto de todos los números algebraicos). En 1903, B. Russell (1872-1969) demostró que la Teoría de Conjuntos de Cantor era inconsistente, cuestionando la misma definición de conjunto, algo de lo que Cantor ya fue consciente al plantearse la imposibilidad de que existiera el conjunto de todos los conjuntos, ya que un conjunto no puede pertenecerse a si mismo. Pero pronto la Teoría Axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la actual Teoría de Conjuntos.
El Álgebra de Boole
George Boole (1815-1864) fue un matemático inglés autodidacta que en 1847 escribió un pequeño tratado, The Mathematical Análisis of Logic, que causó un profundo impacto en el mundo de la filosofía y que significó el inicio de una tendencia en la que la lógica iba a empezar a decantarse más hacia las Matemáticas que hacia la metafísica. Siete años más tarde publicó su célebre The Laws of Thought, obra en la que sentó las bases que permitieron convertir la lógica formal en un nuevo tipo de álgebra. B. Russell llegó a afirmar, tras la lectura de este libro, que las Matemáticas puras habían sido descubiertas por Boole. En líneas generales, el Álgebra de Boole se basó en la Teoría de Conjuntos, asimilando la suma a la unión de conjuntos y el producto a la multiplicación. Luego tomó como elemento 0 al conjunto vacío y como unidad (el “uno” de la multiplicación) al conjunto universal. De esta forma los conjuntos se podían sumar y multiplicar de forma semejante a como se hacía con los números enteros. Boole demostró que esta capacidad operativa entre conjuntos era equivalente a los sistemas de razonamiento que se llevaban a cabo en la lógica simbólica. Paradójicamente, uno de los detractores del Álgebra de Boole fue precisamente G. Cantor, alguien que conocía de primera mano lo que era sufrir duras críticas por haber sacado a la luz una nueva teoría que, además, era la Teoría de Conjuntos.
En 1938, Claude E. Shannon (1916-2001) introdujo un álgebra de Boole de dos valores, que recibió el nombre de álgebra de conmutación y que convirtió al Álgebra de Boole en una de las herramientas teóricas que mayores implicaciones han tenido en la historia de la tecnología, ya que permite representar las propiedades de los circuitos de conmutación eléctrica. Dicho en otras palabras, se convirtió en la gramática básica del lenguaje de las computadoras. Cada vez que utilizamos el ordenador, cruzamos un semáforo, miramos la hora en un reloj digital, establecemos comunicaciones, encendemos un electrodoméstico o cogemos un avión, podemos estar seguros de que detrás de todos estos dispositivos está operando un Álgebra de Boole.
Una de las aplicaciones directas del Álgebra de Boole es el decodificador de siete segmentos, un dispositivo común que se encuentra en todos los hogares en los que haya un aparato de video o un reloj digital. Está formado por siete segmentos que se iluminan en rojo o verde construyendo números. Es un dispositivo aparentemente sencillo, pero que encierra una complejidad sorprendente.
Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:
breve conocimiento e historia de la teoria de conjuntos...
OPERACIONES CON SUCESOS
· En estadística, es un evento o suceso es un
subconjunto de un espacio muestral, es
decir, un conjunto de posibles resultados
que se pueden dar en un experimento
aleatorio
decir, un conjunto de posibles resultados
que se pueden dar en un experimento
aleatorio
• Las operaciones más usuales de sucesos o
eventos son intersección, unión y
complemento
eventos son intersección, unión y
complemento
•El resultado del experimento es a la vez un elemento de
A y un elemento de B, simultáneamente, y se denota A∩B
•La probabilidad de que ocurra la intersección de dos
sucesos independientes entre si es la siguente:
· P (A y B)= P(A) x P(B)
UNION DE SUCESOS
· Es el resultado del experimento de un elemento
de A, un elemento de B o de ambos a la vez
•La probabilidad de que ocurra la unión de dos
sucesos excluyentes entre si es: P(A o B)= P(A)
+P(B)
•La probabilidad de que ocurra la unión de dos
sucesos no excluyentes es: P(A o B)= P(A)+P(B)-
P(A y B)
COMPL
· El complemento de un sucesos de A se considera
a todos los resultados que no corresponden a A y
se denota AC
•Dado un suceso A y su complemento AC se tiene:
A ∩AC =∅
A U AC = Ω
P(A) + P( AC ) =1
A U AC = Ω
P(A) + P( AC ) =1
LEYES DE MORGAN
Dados dos sucesos A y B y sus
complementos AC y BC respectivamente, se
tiene:
•(A U B)C = AC ∩ BC
•(A ∩ B)C = AC U BC
EJEMPLOS
1) En una bolsa existen 25 fichas. Cada una con un valor
distinto de 1 a 25. si ocurren los siguientes suceso con
reposición. Determine:
La probabilidad de que la primera ficha sea un numero impar
La probabilidad de que la segunda carta sea menor 10.
1. Determinar la Dos probabilidades (condiciones)
2. Resolver con la Ecuación.
1. Los numeros impares del 1 a 25
12 34 56 78 910 1112 1314 1516 1718 1920
2122 2324 25
Los numeros impares de 1 a 25 son 13
Por lo que la probabilidad de sacar un numero impar
entre 25 fichas es13 /25
2. Determinamos la segunda probabilidad
Numeros menores que diez
1 23 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Numeros menores que diez
1 23 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
Los numeros menores de 10 son 9.
Por lo tanto la probabilidad de sacar un numero
menor de 10 es 9/25
Usamos la ecuación
P (A y B)= P(A) x P(B)
P (13/25 y 9/25)=P 13/25 x P 9/25
P117/625 =0,1872 probabilidad de que ocurra este
suceso.
INTERSECCIÓN DE SUCESO
P (A y B)= P(A) x P(B)
En el caso de que pidan un suceso
similares .
Suceso A la primera carta sea
Corazón
Suceso B La primera carta Sea Trébol.
Este suceso es Mutuamente
Excluyente su Intersección es Nula
A∩B = 0
Sea un naipe ingles de 52 cartas determine.
la probabilidad de obtener un 5 corazones o un trébol.
1. Determinamos Ambas probabilidades y el tipo de Unión.
2. Ocupamos la ecuación.
Ante todo es de tipo Excluyente
1.Ahora determinamos Cada probabilidad.
La probabilidad de obtener un 5 es 1/52
Mientras que la probabilidad de obtener un trébol es 13/52
1.Ahora determinamos Cada probabilidad.
La probabilidad de obtener un 5 es 1/52
Mientras que la probabilidad de obtener un trébol es 13/52
2.Ahora usamos la ecuación
P(A o B)= P(A)+P(B)
P 1/52 o 13/52) = 1/52 +13/52
P= 14/52 = 0,269 probabilidades de que esto ocurra
UNION DE SUCESO
